本文为作者原创，欢迎分享，若需转载请联系微信（ddupxyz），谢谢！
一、缘由
任何一门学科，在孩子的任何发展阶段，都能以某种智识上诚实的方式，有效地教授给任何孩子。
--- 杰罗姆.布鲁纳（Jerome Bruner）
一直心心念，想给大家介绍一种几年前发现的一种很酷的数学学习方法，一起拖到现在，快对不住对一直以来对这种方法的喜爱之情了。
在写这篇文章时，又去该项目官网 explodingdots.org 看了看，到目前为止，竟然有超过 700 百万的参与者使用了爆炸点这种方法，可惜国内知道的人不多，中文资料也很少，准备做个系列来介绍一下。
前前后后也把这个方法教给过一些孩子，效果超过我的想像，孩子们很喜欢！简单来说，通过这种方法的学习，一二年级的学生也可以顺畅理解不同进制的换算（尽管没给他们讲什么时进制），利用爆炸点的方法进行大位数加减，甚至乘除也没问题，另外， 还可以通过爆炸点去很好的理解负数及其相关运算。最重要的是，是换了一种全新的角度来看待数、进位，以及数的运算，这对他们以后的思维拓展是很有帮助的。
如标题所言，我当时确实是这个感觉，记不起因为什么原因逛到了 James Tanton 的博客，但还记非常清楚的记得初次体验 Exploding Dots 后那种令人振奋的感觉。
James Tanton 博士是一名中学老师，也是一名数学教育家， 他发明了爆炸点（Exploding Dots）这种方法，他的很多教学方法和内容都很有意思。
四年前（2018 年），James Taton 在他的文章中提供了一组数据，来自 170 个不同国家和地区的 620 多万名学生和教师在应用了爆炸点学习法后：
- 96.8% 的老师认为「爆炸点」能够帮助到学生觉得数学其实更易学，更容易理解；
- 96.6% 的老师觉得「爆炸点」让数学学习变得更有趣；
- 93.1% 的老师认为「爆炸点」让学生对数学学习更加有信心；
- 75.5% 的老师认为「爆炸点」在某种程度上改变了他们对数学的看法；
作为一个亲身的教学实践者，我也认为「爆炸点」改变了我对数学启蒙学习的看法，因此我会通过一个系列来聊一聊爆炸点，希望你在学过之后，也有一种，哇！原来还可以这样的神奇感觉！
说明一下，这篇文章的内容是写给对数学感兴趣的爱好者、老师或者家长的，并不适合直接当做教程给孩子看。如果大家感兴趣，后面我可以录一些适合孩子直接学习的小视频。
二、什么是爆炸点机器
爆炸点机器（Exploding Dots Machine）指的是一组盒子，每个盒子里可能会包含一些圆点，除此之外，还有一组用于描述如何在盒子之间移动这些圆点的规则。我现在更愿意把爆炸点机器看作一个全新的系统，用于学习数字及数字运算。
这组规则通常用 1 ← n 这样的符号表示，意味着在一个盒子里，一旦有 n 个点，那这 n 个点就可以合在一起爆炸开来，并被左边的下一个盒子里的一个点所替代。
n 可以为不同的数值，最简单的是 1 ← 2，表示一旦一个盒子里有 2 个点，这两个点就像有魔力一样，可以合在一起并爆炸，爆炸的结果是，在左边紧挨着的盒子里有一个新的替代点产生。你也可以理解为 1 ← 2 表示这个机器里每个盒子最多只能装 1 个点，如果塞进了 2 个或以上的点就只能选择爆炸替代了。
提醒：在画爆炸点机器的时候，最好在盒子旁边标明这个魔法机器的规则（1 ← n），另外注意，爆炸是从右到左方向进行的，这可以和我们在学校学习的从低位到高位的顺序保持一致。
直观上感觉变得更复杂了，这有什么意义呢？
我们先来看第一层意义，数字的表示方法。
1. 数的表示方法
孩子启蒙识数的过程往往是从具像的事物（如水果、动物），过渡到稍抽象的图形（如圆点、三角形），最终引入抽象的数字（1、2、3...）的认识。其中，处于中间段的稍微抽象的图形非常重要，哪怕我们已完全学会了数字，也会经常利用可视化的图形模型来帮助我们理解和计算。
下面是一款我非常喜欢的用于数字启蒙的游戏卡牌，大量运用了圆点图形与数字的对应来锻炼孩子识数与运算的能力。
在爆炸点机器里，我们也是用抽象的圆点来替代数字，但和大部分利用图形来识数及运算不同，在爆炸点机器里，圆点并不是简单作为过渡的辅助，而且作为一个主要的载体，并在这个基础上建立了一套完整的数的表示与运算体系。
不管规则是多少的爆炸点机器，只要我们放了 5 个点到最右边第 1 个框里，这 5 个点其实就是代表我们真实生活中的 5 这个数，它可能是 5 只兔，也可能代替 5 支铅笔。圆点是一种抽象模型，为了方便我们后面的运算。
5 个点合在一起爆炸后，并被左边相邻盒子里的一个点替代，又是什么意思呢？怎么爆炸和替代这是由规则决定的，这里的规则是 1 ← 2（可以读作：2 到 1 的爆炸点机器），也就是说 2 个点合并后爆炸，可用左边相邻盒子里的一个新的点来替代；如果规则是 1 ← 8 ，意味着右边的盒子里 8 个点合并后爆炸，用左边相邻盒子里一个新的点来替代。
我们再来看一个例子，最右边的盒子里有 13 个圆点，我们分别用 1 ← 2 、1 ← 8 和 1 ← 10 这三个爆炸点机器来表示，如下图所示。
为了方便，这里简单的用一条线划掉，表示这条线穿过的点合并后爆炸，并用颜色作了点区分，黑色的点表示原本的 13 个点，被带颜色的线划掉的点会被左边相邻盒子里同样颜色的点替代。
该爆炸的爆炸完后，最后我们在盒子的上方写下这个盒子里最终还剩下的圆点数量。把最终的数字从左往后写下来：
13 = 1101（经过 1 ← 2 爆炸点机器后）13 = 15（经过 1 ← 8 爆炸点机器后）13 = 13（经过 1 ← 10 爆炸点机器后）
看起来有点奇怪，实际上这就是把同一个数用不同的进制表示出来了，1 ← 2 其实就是二进制，1 ← 8 就是八进制，而 1 ← 10 就是十进制，也就是咱们生活中用的进制。
细心的会发现，当我们在生活中说 13 时，就是十进位的，因此用 1 ← 10 表示出来刚好也是 13，很棒！
2. 数的运算方式
有了数的表示，接下来可以进行运算了。
先来看二进制数（由 1 ← 2 表示出）运算。
计算：1101 + 1011 = ？
刚开始学的时候，其实上面说的进制这些，我们都不用在意，那只是一个名字而以，而且容易把人搞晕。我们只需要知道 1101 和 1011 这两个数是在 1 ← 2 的爆炸点机器表示出来的，分别表示如下图所示。
为了助于理解，这里的两个数用黑色和绿色两种颜色区分了出来。
执行加法运算，我们可将这两个数直接写到一个爆炸点机器里去，对应点放到对应盒子里即可。然后应用 1 → 2 爆炸点机器的规则进行合并爆炸。爆炸替换后的结果如下图所示。
我们实际上已经计算出了结果： 1101 + 1011 = 11000
再回到我们熟悉的十进制数（ 1 ← 10 表示出）运算。
计算：15 + 26 = ?
同样，我们既单独表示了 15 和 16，又放在一起直接表示 15 + 26，在实际运算过程中，我们可以直接放到一个爆炸点机器里（最后一行）即可。
其实你现在已经学会几乎所有有进制（ 1 ← 2、1 ← 8、1 ←10 等等）的表示与运算了，是不是很神奇？如果不信？我们再来一个比较大的数计算。
计算：1362 + 675 = ?
不特别注明的话，默认就是 1 ← 10 的 爆炸点机器，这次我们就直接写到一起，仍然用不同颜色来区分一下这两个数。计算如下图所示：
这种方法很好用，一年前带女儿学习了爆炸点，她完全可以理解这些规则，并能正常运算。
当然，那时她并不知道进位、位值、进制这些概念，甚至连个、十、百、千、万也不会认，她当时只认为是一种由 1 ← 10 魔法机器表示的数，并按照机器规则去移动圆点即可。
我希望她慢慢有一个粗浅的感觉：这些所谓的「二进制」、「十六进制」以及我们日常生活用到的「十进制」，其实本质是一样的，只是移动的魔法规则不同。相对本质来说，它们的名称及读法其实没那么重要。
三、小结
在本篇，我们介绍了爆炸点这种全新的数的表示与运算系统，希望通过我的介绍，你已经感兴趣了，在下篇 爆炸点系列-负数的引入及运算 中，我会通过爆炸点来介绍负数的表示与运算，欢迎关注！
另外，爆炸点这种方法很适合教给适龄孩子，不仅不会影响他们日常在学校里学习的内容，还可以作为补充，通过爆炸点的学习让他们对数字以及运算背后真正的意义理解得更加深刻。
可惜在国内知道的人还很少，中文资料更少了，希望后面自己在这一块能通过写文章、录视频或组织活动起到一点推广作用，如果你也感兴趣，想一起来参与，可以通过下方微信 👇 联系我，一起聊聊。
