本文为作者原创，欢迎分享，若需转载请联系微信（ddupxyz），谢谢！
任何一门学科，在孩子的任何发展阶段，都能以某种智识上诚实的方式，有效地教授给任何孩子。
--- 杰罗姆.布鲁纳（Jerome Bruner）
在前一篇文章：花 15 分钟，重新认识数的表示与运算 中，给大家介绍了爆炸点这种很有意思的数字表示与运算系统，今天我们接着来进一步看看它的神奇之处。
一、反爆炸介绍
我们先来看看用 1 ← 2 表示的数字 1111，表示出来如下图所示：
回想一下爆炸的规则，从最右边的格子开始，从右向左爆炸，每个盒子里的 1 个点相当于与它相邻右边盒子里的 2 个点爆炸替换而来。
也就是说右边第 2 个盒子里的 1 个点其实是由右边第 1 个盒子里的 2 个点爆炸替换而来的，而右边第 3 个盒子里的 1 个点又是由右边第 2 个盒子的 2 个点爆炸替换而来，也就相当于右边第 1 个盒子里的 4 个点爆炸替换而来。
注：当我们在说一个数字（比如 13）用 1 ← 2 爆炸点机器表示为 1101 时，13 这个数字指的是我们日常生活中所用的数字（由 1 ← 10 表示）
上图中下方的数字表示出了当前盒子里的 1 个点相当于最右边盒子里的几个点爆炸替换而来。根据每个盒子 1 个点所代表的数字来计算，1111 还原回去应该是数字：8+4+2+1 = 15 。
假如我们将 1111 一步一步还原的话，过程如下图所示，这种还原的方式我们可以称之为反爆炸。
如果是 1 ← 3 的爆炸点机器呢？根据爆炸规则 ，那就是 3 个点爆炸并被相邻左边盒子里一个新的点替换，1111 在 1 ← 3 爆炸点机器里表示出来如下图所示：
你能通过反爆炸规则得出爆炸前第一个盒子里的数字原本是多少吗？
有了前面的铺垫，我们再来看看一种特殊的一类场景，用爆炸点机器如何来表示。
二、负数的引入
其实，早一点引入负数对于孩子学习数学是有帮助的，只是传统引入负数的方法不是特别好，而 James Tanton 用了一种非常巧妙的方法来引入负数，最终通过爆炸点来统一表示，非常容易理解。
在生活中，经常会遇到一些相反意义的量。比如说：
- 收支记录：我们在记录自己每天的收支时，可能今天收入了 200 元，但支出了 300 元，同样的数字，一个是表示收入，一个是表示支出，用数字如何体现出收入与支出的差别？
- 楼层表示：家里住的高楼或办公写字楼，一般是从地面开始计算，1 楼、2 楼、3 楼，但地面以下的停车场呢，用数字如何表示？
- 温度表示：零度以上是 1 ℃、2℃、3℃，但有些冷的地方会到零下，零下的度数用数字如何表示？
为了简化，我们用一组比较容易理解的相反意义的量来做类比。
小时候大家都喜欢玩堆沙子的游戏，我们用下面的一组符号来表示沙堆和沙坑，一个沙堆通常对应着挖出的一个沙坑，一个沙堆和一个沙坑合并，刚好抹平，我们可以用下面简化的图示运算来表示沙堆与沙坑之间的关系：
如果有多个沙堆和沙坑呢？容易得出下面的运算关系：
如果一个沙堆用数字 1 来表示，一个沙坑用数字 -1 （读作负一）来表示，刚好抹平的沙子用 0 来表示。上面的运算过程配上数字表示，如下图所示：
沙堆和沙坑这个类比挺好的，但每次画沙堆和沙坑不太方便，而且为了和咱们的爆炸点结合起来，我们再作一次简化（抽象），用实心的圆点代表沙堆，用空心的圆点代表沙坑。
经过再次简化，转换为下图所示（最后红色的为数字 0）：
三、用爆炸点实现负数运算
你会发现，负数并不神奇，它仅仅就是用负号（-）表示的一种“沙坑”而已 😀。
有了这个基础，我们常见的数字基本运算其实完全可以用实心或空心圆点来表示。比如说：
换个角度来看减法，其实很好理解，6 - 2 可以写成 6 +（-2），4 - 6 可以写成 4 + （-6），不要老想着 4 - 6 不够减，怎么办呀？
我们传统教学中学习减法的时候，为了便于理解，是借鉴了日常生活中的现象来解释减法的，如：我有 5 个苹果，分给弟弟了 3 个，还剩下几个？如果一开始就陷入这种表达，3 - 5 反而不好解释了。
实际上我们应该反过来，通过一种更中立的方式引入“负数”，再用不同的生活现象去表达负数的意义，反而能更好的去理解什么是“负数”。
下面的讨论中，如果不特别说明，默认指的都是 1 ← 10 表示的数字，也就是我们日常生活中用的十进制数字。
下面我们用爆炸点的方式来看一看小学阶段的减法问题，比如：
计算：468 - 132 = ?
为了更容易理解，我们还是用 1 ← 10 爆炸点机器先把两个数分别表示出来，如下图所示，在画点的时候，最好是从最右侧开始画点，这样就不用去关心位数了。
也可以直接把相减的两个数写到一起，更方便计算一些。
实心与空心圆点的运算规则我们已经知道了，很容易得到结果为：336。
再来计算一个更复杂一点的：
计算：413 - 256 = ?
第一步，先用 1 ← 10 的爆炸点机器表示出来，然后按照规则进行计算：
比较有意思的是，这里我们得到的结果为 2 | -4 | -3，虽然看起来很奇怪，实际上这个结果是对的，只是这样的表示和我们通常认识的数字不太一样而已。
为了结果看起来更“正常”，在爆炸点机器里，我们约定最终的计算结果中实心圆点和空心圆点不能同时存在。
为了消除实心或空心圆点，我们通常从最高位（最左侧）开始，如果最左侧为实心圆，那我们最终的结果是要消除掉空心圆点；如果最左侧为空心圆点，那最终结果就是要消除实心圆点。
在当前的算式中，最左侧为实心圆点，那我们就需要消除掉空心圆点，这就需要用到刚刚学到的反爆炸知识了，一个实心圆点可以反爆炸还原为相邻右侧盒子中的 10 个实心圆点，然后就可以继续按照规则合并实心圆点与空心圆点了。
因为结果中同时还有实心圆点和空心圆点，按同样的规则继续运算：
因此 413 - 256 = 157 。
最后再来一个计算：
计算：123 - 456 = ?
再次提醒，不要想不够减的事，直接用 1 ← 10 爆炸点机器表示出来，按规则运算即可：
结果已经只有空心圆了，不用再计算，把负号写到数字前面就得到了结果：123 - 456 = -333 。
四、小结
对比一下爆炸点计算方法与我们在学校里学习的减法运算方法：
左侧传统的减法运算是从右到左执行的，我们运用的是「退位」思想；而爆炸点是直接从左到右执行的，我们运用的是「反爆炸」思想。本质当然是一致的，但爆炸点运算给你了一种完全不同的思考角度去看待减法运算（以及负数）的方式。而且我觉得更简单易懂！
最后用一个更大位数的计算作为本文的结束：
计算：5425 - 3517 = ?
我们现在可以暂时不画图了，直接从左到右按规则计算即可：
5425 - 3517 = 2 │ -1 │ 1 │ -2 │ = 1 │ 9 │ 1 │ -2 │ = 1 │ 9 │ 0 │ 8 = 1908
这样的计算方式，是不是另有一番风味呢！
预告&诚邀
本篇介绍通过爆炸点介绍了负数及其运算，在自己以往的实践中，一二年级的孩子完全可以学会，而且也可以顺畅的运用爆炸点进行各种加减运算，负数也不在话下。下篇中，将继续为大家介绍如何运用爆炸点进行乘法表示及运算。
另外，爆炸点这种方法我觉得很适合教给适龄孩子，并不会影响他们日常在学校里学习的内容，反而可以作为补充，对他们理解数字以及运算背后真正的意义是非常有帮助的。
可惜在国内知道的人还很少，中文资料更少了，希望后面自己在这一块能通过写文章、录视频或组织活动起到一点推广作用，如果你也感兴趣，想一起来参与，可以通过下方微信 👇 联系我，一起聊聊。
